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线性规划的应用实例

信息来源:plantb2b.com  时间:2007-09-11  浏览次数:205

  例1 某工厂甲、乙两种产品,每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元;每件乙产品要耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元。现钢厂有钢材600kg,煤400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件,才能使该厂的总产值最大?
  解 设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2,则总产值是X1 、X2的函数
  f(X1,X2)=120X1+100X2
  资源的多少是约束条件:
  由于钢的限制,应满足2X1+3X2≤600;由于煤的限制,应满足2X1+X2≤400。
  综合上述表达式,得数学模型为
  求最大值(目标函数):f(X1,X2)=120X1+100X2
  2X1+3X2≤600
  2X1+X2≤400
  X1≥0,X2≥0
  Xl,X2为决策变量,解得Xl≤150件,X2≤100件
  fmax=(120 ×150+100×100)元=28000元
  故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时,产值最大,为28000元。
  表1-1 加工台时数
  例2 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺规定,产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12(一台设备工作lh称为一台时),该工厂每生产一件甲产品可得利润20元,每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划,才能得到最多利润?
  解 l) 建立数学模型
  设 X1 、X2分别表示甲、乙产品的产量,则利润是f(X1,X2)=20 X1+30 X2,求最大值。
  设备的有效利用台时为约束条件:
  A:2 X1+2 X2≤12
  B:X1+2 X2≤8
  C:4 X1≤16
  D:4 X2≤12
  X1≥0,X2≥0
  2)求解未知数
  X1≤4、X2≤3,但由式(l)、式(2)得X1≤4、X2≤2,所以取X1≤4、X2≤2 故
  fmax=(20×4+30×2)元=140元
  3)结论:在计划期内,安排生产甲产品4件、乙产品2件,可得到最多的利润(140元)。
  例3 某工厂为维修全厂某类设备制造备件,需由一批5.5m长的相同直径的圆钢截取3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每台设备所需的件数如表1-2所示。用5.5m长的圆钢截取上述三种规格的零件时,有下列五种截取方法可供选择,如表1—2所示。问当设备总数为100台时,采取何种方案可使5.5m的圆钢用料最省?
  表1-2 每台设备所需的件数
  表1-3 五种截取方法
  假设:按第一方案截取的5.5m长的圆钢数为X1
  按第二方案截取的5.5m长的圆钢数为X2
  按第三方案截取的5.5m长的圆钢数为X3
  按第四方案截取的5.5m长的圆钢数为X4
  按第五方案截取的5.5m长的圆钢数为X5
  据此表1-4:
  表 1-4
  因为设备总台数为100台,所以按各方案截取的零件数必须满足下列约束条件:
  X1+ X2=100
  X2+2 X3+ X4=200
  2 X2+ X3+2 X4+4 X5=400
  X1 ,X2 ,X3, X4, X5≥0
  目标函数为 fmin=X1+X2+X3+X4+X5
  通过计算机运算得最优解为 X1=0、 X2=100、X3=100、X4=0、X5=25,故最优值 (最省方案)为fmin= 225根

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